1999年東大入試の数学第1問（加法定理の証明）のめちゃくちゃ簡単な解答

1999年東大入試数学第1問とは

受験の月というサイトによると、1999年に東大入試で次のような問題が出題されたという。

一般角 $\theta$ に対して $\sin \theta, \cos \theta$ の定義を述べよ。

1.で述べた定義にもとづき、一般角 $\alpha, \beta$ に対して

$\sin {(\alpha + \beta)} = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$\cos {(\alpha + \beta)} = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

を証明せよ。

正統的な解答は受験の月に載っているので、ここでは屁理屈みたいな解答を考えたい。

解答

1.

この問いでは、 $\sin \theta, \cos \theta$ を定義しろと言われている。実際に高校数学で与えられている定義にこだわる必要はない。2.の証明が簡単になりそうな定義を考えよう。とりあえず、

$\sin \theta, \cos \theta$ とは、 $\theta$ の値に関わらず、常に $\sin \theta = 0, \cos \theta = 0$ となる定数関数である。

と定義しておこう。

2.

等式 $\sin {(\alpha+\beta)} = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ を示す。定義より、 $(\mathrm{左辺}) = 0$ である。また、定義より、 $(\mathrm{右辺}) = 0 \times 0 + 0 \times 0 = 0$ である。したがって、この等式の左辺と右辺は等しく、この等式は示された。

等式 $\cos {(\alpha+\beta)} = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ を示す。定義より、 $(\mathrm{左辺}) = 0$ である。また、定義より、 $(\mathrm{右辺}) = 0 \times 0 - 0 \times 0 = 0$ である。したがって、この等式の左辺と右辺は等しく、この等式は示された。

終わりに

ものすごい簡単だった！東大入試って意外と簡単なんだなあ…（）